La demostración lógica por deducción natural

     Continuamos nuestro análisis de la lógica proposicional con el estudio del método de deducción natural. Recordemos que todo “razonamiento” es un argumento en el que, puestas ciertas proposiciones llamadas “premisas”, se sigue otra llamada “conclusión” en virtud de unas reglas fijas. El cálculo proposicional define todas estas reglas como “reglas de inferencia”, que nos sirven para razonar correctamente, esto es, para establecer “inferencias válidas”, que no serán “inmediatas” sino “mediatas”, pues la relación de “consecuencia” o “derivación” (├) exige la presencia de intermediarios que, en el curso de la argumentación, deben ser eliminados.

     Una conclusión Q se deriva de un conjunto de premisas {P1, P2… Pn} cuando el "condicional" entre las premisas y la conclusión es una "tautología": {P1∧P2∧P3∧… ∧Pn} → Q, para lo que es necesario completar una “prueba formal de validez”. Existen tres tipos de razonamiento deductivo: la deducción “categórica” o “axiomática”, que sí garantiza la verdad de las premisas porque estas se toman como axiomas (verdades evidentes por sí mismas); la deducción “hipotética”, en la que se supone la verdad de las premisas, pero no se garantiza su validez, porque las premisas son meras hipótesis; y la deducción “indirecta” o por “reducción al absurdo”, que toma las premisas como falsas para sacar de ellas una contradicción (A∧¬A) que garantice que la premisa de partida era falsa, y por tanto su contradictoria será verdadera.

Reglas de inferencia I      Reglas de inferencia II     Reglas de inferencia III

     Vamos a desarrollar el cálculo proposicional no de forma axiomática, sino con razonamientos hipotéticos, forma de proceder que Gerhald Gentzen (1909 a 1945) denominó “deducción natural”, porque desarrolla los razonamientos de forma similar a como procedemos espontáneamente en el "razonar cotidiano". Partiremos de unas premisas para demostrar una determinada conclusión, por lo que la verdad de las premisas no estará garantizada, y deberemos cerciorarnos de que “no es inconsistente”. Un razonamiento es inconsistente si no es posible asignar "valor de verdad" conjuntamente a todas y cada una de las premisas que lo integran: prescindimos de la conclusión Q y nos centramos en las premisas a objeto de lograr que {P1∧P2∧P3∧… ∧ Pn} = 1. Si el razonamiento no es inconsistente, puede ser "validado" (o "invalidado") por una “demostración formal”.

     Las “reglas de inferencia” se escriben en una "columna" y en ellas las premisas y la conclusión se hallan separadas por una "raya horizontal", que simboliza la “relación de consecuencia”. Algunas reglas separan con dos rayas horizontales, que simbolizan la relación de equivalencia. Gentzen eligió como “primitivas” las reglas de “introducción” y “eliminación” de la “conjunción”, la “disyunción”, el “condicional” y la “negación” y a partir de ellas generó todas las demás reglas “derivadas”. En los vídeos que acompañan este artículo proponemos distintos ejemplos para trabajar el método deductivo, e incluimos también un acercamiento detallado a las reglas más utilizadas.