Algunos ejemplos de lógica informal

     Os prometí un último artículo sobre lógica, con lo difícil que es ilustrar este tipo de contenidos, pero se me ha ocurrido que tal vez os sea útil el arranque de la película “Los crímenes de Oxford” (Tornasol, España, 2008) del español Álex de la Iglesia, basada en la novela del escritor argentino Guillermo Martínez titulada “Crímenes imperceptibles", un más que interesante repaso a la "historia de las matemáticas" (entre crimen y crimen, dicho sea de paso, porque hablar solo de matemáticas hubiera sido un poco aburrido). El arranque de la película muestra a un viejo profesor oxoniense que parece un trasunto de Bertrand Russell (1872 a 1970), que junto a su colega vienés Ludwig Wittgenstein (1889 a 1951) desarrolló la llamada lógica simbólica, que tan ocupados nos ha tenido estas últimas semanas, que nos alecciona acerca de la “verdad”, o de su “búsqueda”, que es si cabe más interesante. El segundo, en su famoso “Tractatus logico-philosophicus”, compara la filosofía con una “escalera”, muy útil para hacernos llegar a la parte de arriba de cualquier lugar, pero completamente inútil una vez ha sido utilizada, porque no se incluía en ella ni una sola verdad.

     Para conocer un poco mejor el pensamiento de este autor, nada mejor que acercarnos a la película que sobre él hizo el creativo, provocador y desconcertante director británico Derek Jarman bajo el título “Wittgenstein” (BFI, UK, 1993), y que nos permitirá introducir el tema de la lógica informal. Tras la publicación del “Tractatus”, Wittgenstein rompe con todo lo dicho con anterioridad (hasta el punto de que se suele hablar de un primer y un segundo Wittgenstein), y en su libro más celebrado de esta segunda etapa (“Investigaciones filosóficas”) insiste el filósofo vienés en que lo fundamental del lenguaje no es tanto la "búsqueda del sentido” (unido al “referente” o “significado” de cada palabra) sino su manejo práctico. Será precisamente este “uso del lenguaje”, que él entiende como un juego (de ahí su famosa expresión “juegos de lenguaje”), el que nos permite comprender lo que se dice o escribe en base a su "validez" o "invalidez" lógica. Para hacer esto es necesario renunciar al componente simbólico del lenguaje, por lo que esta forma de intentar comprenderlo se denomina lógica informal (por oposición a la lógica formal o simbólica).

     Hemos visto varios ejemplos de lo que denominamos “argumentos erróneos”. Para completar este ejercicio, nada mejor que una pequeña muestra de lógica informal. He recogido en este enlace el vídeo completo de algunos de los mejores momentos que nos dejó el último "debate electoral" (si es que a esta desordenada profusión de despropósitos lingüísticos se le puede llamar realmente un "debate") entre Pedro Sánchez Pérez-Castejón y Alberto Núñez Feijóo. Ya que estamos debatiendo sobre lógica, dejaremos a un lado cualquier “contenido político” y nos centraremos en el uso de los “razonamientos” y, si las hubiese, “falacias” o “argumentos incorrectos” de los que hacen uso los dos contertulios por entonces candidatos a la presidencia del gobierno: y os garantizo que hay unos cuantos. Tratad de buscar un argumento "de autoridad", "semántico", “circular”, “ad hominen”, “ad baculum”… Lo bueno de la lógica es que, no sólo nos enseña a razonar correctamente, sino que nos permite jugar con el lenguaje y, de paso, divertirnos un rato.

     Y una última recomendación para completar nuestros conocimientos sobre lógica: la lectura de un desconcertante texto de “acertijos” titulado “¿Cómo se llama este libro?” de Raymond Smullyan, que se puede obtener fácilmente en formato pdf (vosotros mismos podéis acceder a la descarga gratuita a través del enlace que os sugiero a continuación en la plataforma scribd.com). Y para animaros a leerlo, os muestro un ejemplo de lo que os encontraréis en este libro sorprendente y maravilloso, que es un conjunto de "adivinanzas y pasatiempos lógicos". En la reciente adaptación de la obra teatral del periodo isabelino “El mercader de Venecia” (Spice Factory 2004) realizada por Michael Radford, sobre el texto original del inmortal William Shakespeare (1562 a 1616) se plantea un interesante “dilema lógico” que se conoce como “Los cofres de Porcia” (seguid este enlace para conocer su solución), en el que un bravo pretendiente deberá mostrar su valía en el “arte del razonamiento” para conseguir la mano de la joven y ansiada Porcia, la soltera más codiciada de Venecia (a la que, por cierto, le agrada la idea de que su futuro marido sea un tipo inteligente… lo que a su vez parece algo “muy inteligente”).

La demostración lógica por deducción natural

     Continuamos nuestro análisis de la lógica proposicional con el estudio del método de deducción natural. Recordemos que todo “razonamiento” es un argumento en el que, puestas ciertas proposiciones llamadas “premisas”, se sigue otra llamada “conclusión” en virtud de unas reglas fijas. El cálculo proposicional define todas estas reglas como “reglas de inferencia”, que nos sirven para razonar correctamente, esto es, para establecer “inferencias válidas”, que no serán “inmediatas” sino “mediatas”, pues la relación de “consecuencia” o “derivación” (├) exige la presencia de intermediarios que, en el curso de la argumentación, deben ser eliminados.

     Una conclusión Q se deriva de un conjunto de premisas {P1, P2… Pn} cuando el "condicional" entre las premisas y la conclusión es una "tautología": {P1∧P2∧P3∧… ∧Pn} → Q, para lo que es necesario completar una “prueba formal de validez”. Existen tres tipos de razonamiento deductivo: la deducción “categórica” o “axiomática”, que sí garantiza la verdad de las premisas porque estas se toman como axiomas (verdades evidentes por sí mismas); la deducción “hipotética”, en la que se supone la verdad de las premisas, pero no se garantiza su validez, porque las premisas son meras hipótesis; y la deducción “indirecta” o por “reducción al absurdo”, que toma las premisas como falsas para sacar de ellas una contradicción (A∧¬A) que garantice que la premisa de partida era falsa, y por tanto su contradictoria será verdadera.

Reglas de inferencia I      Reglas de inferencia II     Reglas de inferencia III

     Vamos a desarrollar el cálculo proposicional no de forma axiomática, sino con razonamientos hipotéticos, forma de proceder que Gerhald Gentzen (1909 a 1945) denominó “deducción natural”, porque desarrolla los razonamientos de forma similar a como procedemos espontáneamente en el "razonar cotidiano". Partiremos de unas premisas para demostrar una determinada conclusión, por lo que la verdad de las premisas no estará garantizada, y deberemos cerciorarnos de que “no es inconsistente”. Un razonamiento es inconsistente si no es posible asignar "valor de verdad" conjuntamente a todas y cada una de las premisas que lo integran: prescindimos de la conclusión Q y nos centramos en las premisas a objeto de lograr que {P1∧P2∧P3∧… ∧ Pn} = 1. Si el razonamiento no es inconsistente, puede ser "validado" (o "invalidado") por una “demostración formal”.

     Las “reglas de inferencia” se escriben en una "columna" y en ellas las premisas y la conclusión se hallan separadas por una "raya horizontal", que simboliza la “relación de consecuencia”. Algunas reglas separan con dos rayas horizontales, que simbolizan la relación de equivalencia. Gentzen eligió como “primitivas” las reglas de “introducción” y “eliminación” de la “conjunción”, la “disyunción”, el “condicional” y la “negación” y a partir de ellas generó todas las demás reglas “derivadas”. En los vídeos que acompañan este artículo proponemos distintos ejemplos para trabajar el método deductivo, e incluimos también un acercamiento detallado a las reglas más utilizadas.

Algunos ejemplos de lógica formal

     Por si alguno o alguna no comprenden todavía muy bien en qué consiste el "método de resolución lógica" llamado “tablas de verdad”, os adjunto una serie de tutoriales para que podáis practicar un poco más. El primero de ellos explica de forma muy clara qué es una "tabla de verdad", mientras que en los dos siguientes son una interesante aportación el profesor de matemáticas colombiano Julio Rios Cali, que nos enseña paso a paso y de forma amena y sencilla como "construir tablas de verdad" con las cuatro "conectivas" básicas: "conjunción", "disyunción", "condicional" y "bicondicional" (podéis consultar su blog simplemente tecleando en este enlace). Y para muestra un ejemplo:

Tautología            Contradicción            Contingencia

     Y para divertirnos un poco, aquí tenéis un vídeo muy interesante en el que se os enseña a “calcular una multiplicación” por medio de un método completamente diferente al habitual, aunque seguramente mucho más divertido. Podéis practicarlo vosotros mismos, para comprobar como las "ciencias exactas" funcionan de forma perfecta a la hora de establecer “cálculos deductivos válidos”, independientemente de la metodología empleada, puesto que los distintos "métodos" utilizados para el "cálculo" (en este caso la multiplicación) son “isomorfos”, responden a las mismas pautas epistemológicas, algo que veremos al comparar las "tablas de verdad" con las "deducciones naturales".

El hombre como aninal simbólico

     La construcción de todo "lenguaje simbólico" es especialmente compleja. Hemos comentado ya las diferencias entre “signo” y “símbolo”, a la par que afirmábamos que el "lenguaje humano" es marcadamente simbólico, y debemos precisar esto. Cuando hablamos de signos nos referimos a elementos compuestos por un “significante” y un “significado”, pero para construir un "lenguaje formal" debemos deshacernos de los significados, renunciar a la “semántica” en favor exclusivamente de la “sintáctica” (eliminar el contenido material de los signos y quedarnos únicamente con su “forma” o “estructura”). ¿Qué nos queda entonces? ¿El significante? Si es así, este significante pasa a ser considerado como “símbolo”, y el lenguaje que construimos con él (la lógica y las matemáticas) será un lenguaje formal y no material, esto es, un lenguaje simbólico y no natural.

     El vídeo que abre nuestro artículo, extraído de la película “El código Da Vinci” (Columbia 2006) de Ron Howard, según el polémico texto del británico Dan Brown, arranca con una interesante conferencia a cargo del profesor Robert Langdon (Tom Hanks) sobre el uso de los signos. Es curioso comprobar como la audiencia responde ante un "tridente" (que identifica “el mal” en la figura de Satanás) portado por Poseidón, o ante una "caperuza" (que se suele asociar al “racismo” propio del Ku Klux Klan) de un penitente sevillano durante la Semana Santa. Llama aún más la atención el análisis que el profesor hace de la cruz “esvástica” (en sánscrito: “suastika”, que se podría traducir por “¡salud!”), ampliamente utilizada en la antigüedad, en especial en la cultura egipcia, pero que se relaciona directamente con el III Reich de Adolph Hitler y que es el símbolo más evidente de la ideología “nazi” (en tanto resume en una sola imagen la totalidad de su pensamiento y lo hace claramente identificable).

     Un buen ejemplo de símbolo lo tenemos en el término XP (que la tecnología no me permite unir, aunque deberíamos escribir ambas letras superpuestas). Quizá muchos penséis que se trata de las letras latinas “X" y “P”, pero en realidad se trata de las letras griegas “Χ χ Ji” (que equivale a la española “Ch”) y “Ρ ρ Ro” (que equivale a la española “R”). Se trata de las dos primeras letras de la palabra "Cristo" (véase Jesús de Nazaret) término que proviene del griego “jristós” (“χριστoς”). Por tanto, los signos “XP” no remiten tanto a la figura “material” de un individuo nacido en Nazaret hace dos milenios, sino que combinados pasan a ser un símbolo que identifica a “Jesucristo” (esto es, a “Dios”, en tanto que idea). Lo que tenemos aquí es un uso adecuado de un símbolo para representar “otra realidad” distinta de la meramente “designada” por el signo lingüístico utilizado.

     El lenguaje hace uso de signos en tanto que símbolos para componer un “universo simbólico” que comúnmente llamamos “mundo”. Es éste un instrumento imprescindible para hacernos con la realidad, porque contribuye en gran medida a “dotar de sentido” a los objetos de nuestro entorno y a nuestras propias vivencias. Nunca encontramos un objeto aislado de otras cosas, ni vivimos un acontecimiento separado de todos los demás, del mismo modo que no encontramos nunca una palabra ni un símbolo aislados. Para comprobar esto, hacemos el siguiente ejercicio: en el segundo vídeo nos encontramos con un teclado en el que se va “deletreando” la definición de “comunicación”… Curiosamente, al ver únicamente símbolos aislados, nos cuesta "darle un sentido", y solo cuando hacemos el esfuerzo metal de "unirlos unos con otros" comienzan a tener "significado".

     También el "arte" ofrece esta posibilidad de jugar con los símbolos para generar significado. A continuación os muestro un interesante documental sobre Pablo Picasso (1881 a 1973), en el que podemos ver al genial pintor en plena "efervescencia creativa". Juega el autor con distintos "símbolos", bien conocidos por todos (como la “paloma”, que identifica la paz, o bien el “toro” como imagen del poder y la fuerza, y que con todas sus connotaciones trágicas suele identificar a España). También resultan interesantes otros usos de los símbolos en el arte, como este enlace que os ofrezco, y que nos enseña algunas de las claves del "lenguaje audiovisual". Y para los curiosos que queréis aprender un poco sobre el mundo de los sordos (y para entender también a Hellen Keller y Ann Sullivan), también os dejo una pequeña introducción a algunos de los signos más comunes del "lenguaje de señas" (podéis completar vosotros mismos vuestro aprendizaje sobre el tema con los vídeos anexos).

Sobre el concepto de signo lingüístico

     Algunas consideraciones acerca de la "comunicación" y el "lenguaje", antes de adentrarnos en el mundo de la "lógica simbólica". Estamos tratando estos días el concepto de “signo”. Recordemos una vez más la definición que nos proporciona el pragmatista americano Charles Sanders Peirce (1839 a 1914): “un signo es algo que representa otro algo para alguien”; por ejemplo, la palabra la palabra “árbol” (algo) representa el objeto “árbol” (otro algo) para todos los que entiendan el idioma español (alguien). Por su parte, el estructuralista francés Ferdinand de Saussure (1859 a 1913) incide en la misma idea al definir “signo lingüístico” como la unión de un “significante” (la imagen acústica, la palabra escrita o signada de algún modo) y un “significado” (el concepto pensado, aquello a lo que hace referencia el signo, lo que queremos expresar); entre ambos, significante y significado, se establece una relación de tipo convencional que llamamos “significación” o “sentido”.

     Por otro lado, hay "signos" que nos remiten a "otro significado" ulterior, que está en parte manifiesto y en parte oculto en su significación inmediata: se trata de los “símbolos”, entendidos como “signos que significan un objeto que, a su vez, significa otra realidad”; por ejemplo, la palabra “paloma” designa a un tipo concreto de ave, que a su vez identifica otra realidad, en este caso la “paz”.  La relación del signo con el objeto simbolizado es no solo "convencional", sino también "cultural y social". Y es en virtud de esta relación simbólica que el “mundo” se nos presenta poblado de símbolos que remiten, más allá de los puros hechos, a una significación simbólica: las cosas, los fenómenos y los acontecimientos se nos convierten en “mensajes cargados de sentido". El lenguaje es así el instrumento imprescindible para “hacernos con la realidad”, porque contribuye en gran medida a dotar de sentido a los objetos de nuestro entorno y a nuestras propias vivencias: los objetos y las vivencias son tales en la medida que “los nombramos”, que los expresamos mediante símbolos.

      Para ejemplificar esto hemos seleccionado un pasaje de la renombrada película “El pequeño salvaje” (Les Films du Carrosse, Francia, 1969) de François Truffaut, que nos adentra en la singular vida del joven Víctor de Aveyron (Jean-Pierre Cargol), uno de los llamados “niños salvajes”. La película se centra (que podéis visionar completa en este enlace) en los esfuerzos del médico francés Jean Marc Gaspard Itard (interpretado por el propio Truffaut) por educar al joven Víctor en la comprensión de un lenguaje que le permita "comunicarse con los demás", pedir las cosas que desea o mostrar a través de signos orales sus propios sentimientos. Itard, tras profundizar en nociones básicas sobre el espacio (cuerpos, áreas, volúmenes…) le enseña al joven el "alfabeto", que él reproduce intuitivamente, sin comprenderlo, y es reeducado para hacer un esfuerzo de mejora en este sentido. Poco a poco, aprende a relacionar cada "signo" con su "significado" (y no solo eso, también cada "fonema" con su "morfema", desarrollando lo que conocemos como “lenguaje doblemente articulado”). El joven Víctor finalmente comprende el sentido de los signos al visitar a una familia amiga y pronunciar la palabra “leche” para solicitar que le sirvan un rico tazón de su bebida favorita. 

     Otro notable ejemplo del empleo de los signos lo encontramos en la película “El milagro de Ana Sullivan” (MGM, EEUU, 1962) de Arthur Penn, un magnífico duelo interpretativo entre Helen Keller (Patty Duke) una chica ciega, sorda y muda, y Anne Sullivan (Anne Bancroft), la joven institutriz que intenta educarla (para ver la historia completa basta seguir este enlace). Aunque al principio la profesora debe centra sus esfuerzos en enseñar "modales" a la joven, que ha sido criada bajo el consentimiento paterno y hace todo lo que le apetece (desde tirar objetos hasta comer con las manos), el interés de Anne no es otro que "comunicarse" con la pequeña, y conseguir que ella se comunique igualmente, y a tal efecto desarrolla un "método de enseñanza" basado en "signos táctiles", que la profesora ejecuta con sus manos sobre la palma de aquella. El problema es que Hellen repite los signos de forma mimética, no comprensiva, esto es, sin darles significado: no es capaz de "asignar a cada signo un objeto de la realidad", puesto que es incapaz de entender que los signos no son objetos, sino "signos”, esto es, artificios lingüísticos que “designan” objetos del mundo real.

     La propia Anne repite a la niña (sin que esta pueda oírla): “si tan solo pudiera hacerte comprender que cada gesto de mis manos es una palabra” (por tanto, no la propia realidad, sino sólo algo que nos permite hablar de ella, “representarla”). Finalmente, en la última escena de la película, Hellen comprende. Y curiosamente, lo hace gracias a que aún recuerda su "primera palabra hablada" (justa antes de que perdiese el oído, y con ello la voz), y la repite justo en el momento en que entra en contacto con ese objeto: “agua”. Para ello ha tenido que partir de los "datos de la experiencia", pero a la vez ha sido capaz de "conceptualizarlos". Es entonces cuando Hellen finalmente comprende “qué es el agua”: sólo cuando “entiende el concepto”, cuando es capaz de “nombrarlo”, puede “reconstruir” el objeto que tiene delante "desde el lenguaje", darle significado (y a partir de ahí construir otros enunciados: “el agua moja”, “el agua está fría”, etc.). Un notable ejercicio de coraje el que vemos en la joven Hellen, y en su decidida maestra, que bien podría inspirarnos a todos. En palabras de Immanuel Kant (1724 a 1804): “sapere aude” (“atrévete a saber”).